Espacio Muestral
Diagramas de arbol
LOGRO:
Relaciona las técnicas de conteo con el concepto de probabilidad
Indicadores:
Calcula el número de elementos del espacio muestral aplicando reglas de conteo
Calcula la probabilidad de un evento aplicando la definición y algunas propiedades
Desarrolla modelos de fórmulas de conteo que permitan aplicarse en análisis de eventos
Justifica los resultados obtenidos del análisis de eventos a partir de modelos de probabilidad
Diferencia las técnicas de conteo.
Espacio muestral
En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Los espacios muestrales pueden clasificarse como discretos (cuando la cantidad de sucesos elementales es finito o numerable) o continuos (en los casos en los cuales la cantidad de sucesos básicos posee carácter infinito y, por lo tanto, resulta imposible de contar
Suceso
Un suceso es un subconjunto del espacio muestral formado por los elementos que cumplen una condición dada.
Los sucesos pueden ser:
Simple: un solo evento
Compuesta: cuando se cumplen 2 o más eventos
Seguro: El Cual siempre se puede repetir aunque varié siempre sus respuestas o soluciones
Imposible: El cual nunca puede suceder
Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad. Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de estos tiene un número infinito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.
Una clase consta de seis niñas y niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:
1 Seleccionar tres niños.
2 Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
Solución:
Realizaremos el diagrama observando las posibilidades de selección:
Las opciones son niño con probabilidad de 10/16 o niña con probabilidad 6/16
En el primer nudo en la selección de niño, las opciones son niño con probabilidad de 9/15 o niña con probabilidad de 6/15 y en la selección de niña, las opciones son niño con probabilidad 10/15 o niña con probabilidad de 5/15
El tercer segmento se obtiene de manera análoga al anterior
Seleccionar tres niños.
Son sucesos independientes.
2. Podemos observar en el diagrama de árbol, que hay 3 ramas que nos brindan el resultado que buscamos, así que debemos sumar las 3 probabilidades.
EJERCICIOS CON REPOSICIÓN
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En una academia hay 3 aulas: el aula roja, el aula azul y el aula negra. El aula roja tiene al 50 % de los estudiantes de la academia, el aula azul al 30 % y el aula negra al 20 %. Además, en cada aula hay un 40 % de hombres. Si se selecciona un estudiante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un estudiante hombre del aula azul?
2. Tenemos una urna con 3 bolas amarillas y 5 bolas negras si extraemos 2 bolas con devolución calcular la probabilidad de
a) Que sean las dos amarillas
b) Que sean las dos negras
c) Que tres sean del mismo color
d) Que las 3 sean de distinto color
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).Es importante recordar que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo debe ser siempre 1
TEORIA DE CONTEO
En esta unidad se analizan varios conjuntos y sus arreglos varios por medio de dos reglas
elementales de conteo: regla de multiplicación y regla de suma. En ocasiones los arreglos se
grafican por medio de diagramas de árbol. También se trabajarán por separado los casos
especiales de los arreglos que se forman con una parte o todos los elementos de un
conjunto cuando el orden en que se coloquen éstos sea importante -permutaciones- y
la elección de los elementos se realice con o sin reemplazo; se ampliará el estudio de
los casos con elementos iguales en un conjunto y los casos cuando el orden entre los
elementos de los arreglos no es importante -combinaciones-
REGLA DE LA SUMA
La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
EJEMPLO
FORMULA: P(A⋃B) = P(A) + P(B) − P(A⋂B)
Donde:
- P(A) : probabilidad de que ocurra el evento A.
- P(B) : probabilidad de que ocurra el evento B.
- P(A⋃B) : probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B.
- P(A⋂B) : probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B a la vez.
¿Y si los eventos son mutuamente excluyentes?
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, si no tienen elementos comunes. Por ejemplo, sacar una carta al azar de una bajara, y obtener un 5 y un 7, son eventos mutuamente excluyentes, ya que no hay ninguna carta que tenga un 5 y un 7 al mismo tiempo. Entonces P(A⋂B) = 0 , por lo tanto, partiendo de la misma fórmula, obtendríamos la siguiente expresión:
P(A⋃B) = P(A) + P(B) − P(A⋂B)
P(A⋃B) = P(A) + P(B) − 0
P(A⋃B) = P(A) +P(B)
Ejemplo 1:
La probabilidad de que un día cualquiera, Carlos almuerce pollo frito es de 0,4. La probabilidad de que almuerce hamburguesa es de 0,3; mientras que la probabilidad de que almuerce pollo frito y hamburguesa el mismo día es de 0,1. Calcula la probabilidad de que un día cualquiera, Carlos almuerce pollo frito o hamburguesa.
Solución:
Definimos nuestras probabilidades:
- Probabilidad de que Carlos almuerce pollo frito: P(A) = 0,4.
- Probabilidad de que Carlos almuerce hamburguesa: P(B) = 0,3.
- Probabilidad de que Carlos almuerce pollo frito y hamburguesa el mismo día: P(A⋂B) = 0,1.
- Probabilidad de que Carlos almuerce pollo frito o hamburguesa:
P(A⋃B) = ?
Ahora, aplicamos nuestra fórmula:
P(A⋃B) = P(A) + P(B) − P(A⋂B)
P(A⋃B) = 0,4 + 0,3 − 0,1
P(A⋃B) = 0,6
Definimos nuestros eventos:
- Probabilidad de que salga 1: P(A) = 1/6.
- Probabilidad de que salga 3: P(B) = 1/6.
- Probabilidad de que salga 1 y 3 al mismo tiempo P(A⋂B) = 0. Este valor es cero, dado que son eventos mutuamente excluyentes. Si sale 1, ya no puede salir 3.
- Probabilidad de que salga 1 o 3: P(A⋃B) = ?
Ahora, aplicamos nuestra fórmula:
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Tres monedas son lanzadas al azar. La probabilidad de que se obtengan
exactamente dos caras es
2. Si P(A) = 0.3 y P(B) = 0.4 donde A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que A y B ocurran simultáneamente es:
a. 0 b. 0.12 c. 0.58 d. 0.7
3. Sea P(A) = 0.2 y P(B) = 0.5, donde A y B son independientes, entonces P(A o B) =
a. 0 b. 0.1 c. 0.6 d. 0.7
4. Un envase contiene 3 canicas rojas, 5 azules y 2 blancas. Dos canicas son extraídas al azar y sin reemplazo del envase. La probabilidad de que la segunda canica no sea roja dado que la primera no fue roja es:
a. 7 /9 b. 7 /10 c. 6 /9 d. 6 /10