LOGROS

Diferencia las combinaciones de las permutaciones y las aplica en la realización de ejercicios sobre formación de grupos y en la determinación del espacio muestra de un experimento.
INDICADORES DE LOGRO
Identifica cuando una formación de grupos es una permutación y cuando es una combinación
Identifica la técnica apropiada para hallar el espacio muestral de un experimento
Diferencia las condiciones de las permutaciones y de las combinaciones
Resuelve ejercicios sobre permutaciones
Calcula permutaciones por el método de casillero o aplicando fórmulas
Resuelve ejercicios sobre combinaciones
Utiliza la calculadora para simplificar procesos de cálculo
Valora la importancia del cálculo de permutaciones y combinaciones como métodos de conteo. 

Utiliza fórmulas para hallar el número de combinaciones de objetos relacionados

• Construye permutaciones con los elementos de un conjunto y determina la cantidad total que se pueden construir.
• Diferencia y reconoce sucesos simples y compuestos.

FACTORIALES

 Definición: Sea n un número natural, se llama factorial de n o n factorial, al producto de los n primeros números naturales y se denota por n!.

 Se define: 

1! = 1 

 n! = n ∙ (n - 1)!

Se deduce de lo anterior, que n! = n · (n - 1) · (n - 2) ·

3¡= 3 · 2 · 1

OBSERVACIÓN: 0! = 1

PERMUTACIONES Definición: Se denomina permutación, a cada una de las diferentes ordenaciones que se pueden realizar con todos los elementos de un conjunto.

Son los distintos grupos que se pueden formar con "n" elementos distintos a la vez, de manera que estos grupos se diferencien solo en el orden de los elementos que los componen, es decir, que el grupo AB sea distinto que BA 

Ejemplo 1: Consideremos la palabra PAN ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, se pueden formar usando las tres letras? Así obtenemos P, A, N: PAN , PNA, APN, ANP, NAP, NPA en total son 6. Cada una de ellas es una permutación de las letras dadas. Para calcular el resultado 6 se aplica el principio multiplicativo 

Note que al aplicar la fórmula de permutaciones tendríamos el mismo resultado, pues debemos ordenar los tres elementos a la vez: 𝑃3 = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6  

P(n) = N!

Variaciones

Se llama variaciones ordinarias de elementos tomados de en a los distintos grupos formados por elementos en donde:

- Importa el orden.

- No se repiten los elementos.

Las variaciones se denotan por

VARIACION CON REPITICIÓN 

Podemos pensar las variaciones ordinarias como tener un conjunto con objetos, tomar de este todos los subconjuntos de objetos y después ordenarlos de todas las maneras posibles cada subconjunto. 

Ejemplos:

• • Calcular las variaciones ordinarias dadas por V

    Tenemos que para este caso , y, por lo tanto, .
    Así

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1.  Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.

2. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

3. .A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?

4. ¿Cuántos palabras de tres cifras diferentes se puede formar con los letras de la palabra murciélago:

5 ¿Cuántos palabras de tres cifras diferentes se puede formar con la palabra  cocoa:

PERMUTACIONES CON REPETICION

PERMUTACIONES EN CIRCULO

El número de permutaciones circulares de n elementos está dado por:

Po(n) = (n - 1)!

Ejemplo 1:

¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa

redonda?

Respuesta: Una persona puede sentarse en cualquier lugar, las otras 4 personas son las

que pueden organizarse de 4! Maneras diferentes.

Po(5) = (5 - 1)! = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 maneras distintas

EJERCICIOS RESUELTOS

https://www.colegioconcepcionsanpedro.cl/wp-content/uploads/2020/03/MATEMATICA.3%C2%B0MB.TECNICAS-DE-CONTEO.pdf 

EJERCICIOS PROPUESTOS

 1.- ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con la palabra DISCO? 

2.- Escribe todas las permutaciones distintas de los dígitos 2, 3, 4 y 8 si todas deben comenzar con el 8.

 3.- Un tren está formado por la locomotora y 7 carros ¿De cuántas maneras diferentes se pueden enganchar los vagones

4. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 5 autos en fila en un estacionamiento?

A) 5

B) 10

C) 25

D) 120

E) 125

2. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden hacer con todas las letras de la palabra

ELEMENTO?

A) 3!

B) 5!

C) 8!

D) 8!/ 5!

E) 8!/ 3!

3. ¿De cuántas maneras distintas se puede sentar una familia de 7 integrantes alrededor

de una mesa circular?

A) 3! + 4!

B) 3! ∙ 4!

C) 6!

D) 7!

E) 7! - 1!

COMBINACIONES

 Las combinaciones son agrupaciones en las que el contenido importa pero el orden no. Dos eventos son dependientes si el estado original de la situación cambia de un evento al otro, y esto altera la probabilidad del segundo evento.

Dado un experimento aleatorio con una población N y una muestra n, si en la muestra no existe orden ni repetición, el número de elementos del espacio muestral corresponde a la combinatoria de n en N, la cual se simboliza NCn 

Hallar el número de formas en que se pueden mezclar cinco colores: amarillo (a), verde (v), rojo (r), blanco (b) y café (c), tomándolos de tres en tres.

Solución:

En este experimento se deben mezclar 5 colores tomándolos de a 3. Por tal razón, la población es N=5 y la muestra n=3.

En este experimento el orden no se tienen en cuenta ya que da el mismo resultado combinar el color amarillo, el verde y el rojo, que si se toma primero el verde, luego el rojo y por último el amarillo. Con esto, el número de elementos del espacio muestral es:

EJERCICIOS   PROPUESTOS

1.En una clase de  6 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos.

¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

2. En una reunión asisten  6 personas y se intercambian saludos entre todos.

¿Cuántos saludos se han intercambiado?

3. En una tienda se venden cinco sabores distintos de refresco. Se desea comprar , sin importar que se escojan varios del mismo sabor. ¿De cuántas formas se pueden elegir los sabores de refresco?

4.  ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de ?

5. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se pueden formar con sus vértices?